Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
Tugas Sains Masa Depan
Jurusan : Pendidikan Sains
Tugas Sains Masa Depan
Soal:
Dalam teori orbital molekul elektron bebas, elektron dalam molekul terkonjugasi
diperlakukan sebagai partikel bergerak bebas dalam kotak satu dimensi dengan panjang L
atau a atau N. Tetraena CH2=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH2 dapat dipandang sebagai
kotak satu dimensi dengan panjang N = 8RC-C, dimana 8RC-C = 1,40 Å (1,4 x 10-10 m).
a. Tentukan persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi terisi paling
tinggi, n = 4?
b. Hitung energi terendah dari setiap kuantum untuk lima bilangan kuantum?
c. Hitung energi eksitasi minimum molekul?
Penyelesaian:
a. Menentukkan persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi terisi
paling tinggi, n = 4
Yang dimaksud dengan elektron-bebas adalah elektron yang tidak mendapat
pengaruh luar sehingga energi potensialnya nol. Dengan V(x) = 0 persamaan Schrodinger
menjadi:
(x)
ΕΨ
(x)
ψ
(x)
) V
(x)
Ψ
x
(
2m 2
2 2
....................................................................(1).
(x)
) 0 ΕΨ
(x)
Ψ
x2
2
(
2m
2
karena
2
h
, maka:
(x)
) 0 ΕΨ
(x)
Ψ
x
(
8 2 2
2 2
m
h
0
(x)
) ΕΨ
(x)
Ψ
x
(
8 2 2
2 2
m
h
0
(x)
ΕΨ
8
)
(x)
Ψ
x
(
2
2 2
2
h
m
Persamaan differensial ordo dua:
0
(x)
) Ψ
(x)
Ψ
x
( 2
2
2
k ............................................................................. (2).
Persamaan di atas dapat ditulis secara lebih sederhana,
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
( )
2
2 ( )
2
x x k
x
atau
2
2
2 8
h
m
k
2
2 8
h
m
k
Bentuk penyelesaian dari persamaan di atas adalah:
ikx ikx
x Ae Be ( ) atau A kx B kx x sin cos ( ) .......................(3).
Dengan memasukkan persyaratan fisis atau nilai syarat batas, yaitu pada x = 0 harga ψ(x)
= 0, maka harga B harus berharga 0.
sin (0) cos (0) ( ) A k B k o atau 0 0 B(1) B = 0, sehingga:
A kx x sin ( )
Dengan memasukkan nilai syarat batas yang ke dua, yaitu pada x = a harga ψ(x) = 0,
maka diperoleh bahwa harga k.a harus merupakan kelipatan dari π, atau
k.a = n π atau
a
nπ
k dimana n = 1, 2, 3 …dst maka
sin( ) ( ) x
a
n
A x
....................................................................................................(4).
Dengan mengembalikan besaran dari konstanta k ke bentuk semula, maka diperoleh
energi partikel dalam kotak 1 dimensi seperti dibawah ini.
2
2 2
8ma
n h
En ............................................................................................................(5).
En adalah energi partikel dalam kotak 1 dimensi yang harganya tergantung pada bilangan
kuantum n.
Fungsi gelombang penyelesaian partikel dalam kotak 1 dimensi adalah
x
a
n
A n x
sin ( ) dimana A adalah tetapan normalisasi
Harga tetapan normalisasi dapat ditentukan dengan menormalisasi fungsi gelombang
tersebut yang sama artinya dengan mengharuskan fungsi gelombang memenuhi kaidah
bahwa di dalam keseluruhan batas kotak, maka peluang menemukan partikel adalah 1.
1 ( )
0
( )
* dx x
a
x (syarat menormalisasi)
1
0
2
( ) dx
a
x
sin 1
0
2
x dx
a
n
A
a
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
sin 1
0
2 2
x dx
a
n
A
a
sin 1 2 2
0
xdx
a
n
A
a
sin 1
0
2 2 x dx
a
n
A
a
x dx
a
n
A
a
0
2
2
sin
1
Penyelesaian xdx
a
nπ
xdx 1 cos2
a
nπ
sin
a
0 0
2
a
x
dv
x
a
n
2
d
a
0
a
0
xdx
a
nπ
cos2
2
1
2
1
dx
x
a
dx
v
n
d
a
0
a
0
x
a
2nπ
dv
cos
2
1
x
2
1
vdv
n x
a
cos
2
1
2
a 1
0 sin 2 sin 0
2 4
1
0
x
a
n
n x
a
a
a
vdv
n x
a
0
cos
4
1
sin 2 0
2 4
x
a
n
n x
a a
v
n x
a a sin
4 0
0
2
a
a
A
2
2
a
1 2
2
a
a
A
2
Dengan menggunakan formula matematika, UdV UV VdU , diperoleh harga
tetapan normalisasi, A = (2/a)1/2, sehingga bentuk fungsi gelombang ternormalisasinnya
adalah seperti di bawah ini.
x
a
n
A n x
sin ( ) x
a
n
a n x
sin
2
( ) atau
x
R
n
R C C C C
n x
8
sin
8
2
( )
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
Secara diagram, fungsi gelombang dan tingkat energi partikel dalam kotak satu dimensi
seperti disajikan pada gambar di bawah ini.
2
2
5 8
25
ma
h
E
Dari penjelasan di atas persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi
paling tinggi, n = 4 adalah:
2
2 2
2
2 2
8 8 ( ) C C
n m NR
n h
ma
n h
E
2 1
2
2
2 2
4 16
8 (8 )
16
8
4
E
m R
h
ma
h
E
C C
b. Menghitung energi terendah dari setiap kuantum untuk lima bilangan kuantum
(n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, dan n = 5).
Diketahui h = konstanta Planck = 6,6262 x 10-34J.s, m = massa elektron = 9,11 x 10-
31kg, N= 8, RC-C = 1,4 x 10-10m.
Untuk n = 1
2
2
2
2 2
1 8 8 (8 )
1
C C m R
h
ma
h
E
0 a 0 a
2
2
1 8ma
h
E
2
2
2 8
4
ma
h
E
2
2
3 8
9
ma
h
E
x
a a x
sin
2
1( )
x
a a x
2
sin
2
2( )
x
a a x
3
sin
2
3( )
ψ1
2
ψ2
2
ψ3
2
2
2
4 8
16
ma
h
E
x
a a x
4
sin
2
4( )
x
a a x
5
sin
2
5( )
Ψ4
2
Ψ5
2
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
72,88 10 (125,44 10 )
43,9065 10
8 9,11 10 (8 1,4 10 )
(6,6262 x 10 )
31 20
68
31 10 2
-34 2
1
E
0,0048 10 J 4,8 10 J
9142,0672 10
43,9065 x 10
E 17 20
51
-68
1
Untuk n = 2
2 1 E 4E
E 4 4,8 10 J 1,92 10 J 20 -19
2
Untuk n = 3
3 1 E 9E
E 9 4,8 10 J 4,32 10 J 20 -19
3
Untuk n = 4
4 1 E 16E
E 16 4,8 10 76,8 10 J 20 20
4
J
E 7,68 10 J 19
4
Untuk n = 5
3 1 E 25E
E 25 4,8 10 J 12,0 10 J 20 -19
5
E 12,0 10 J 19
5
c. Menghitung energi eksitasi minimum molekul (EHOMO)
2 1
C C
2
2
C C
2 2
2
C C
2 2
HOMO 16E
8m(8R )
h
16
8m(8R )
h
2
8
8m(NR )
(N/2) h
E
E 16 4,8 10 J 7,68 10 J -20 19
HOMO
E 7,68 10 J 19
HOMO
2 1
C C
2
2
C C
2
2
2
C C
2
2
LUMO 25E
8m(8R )
h
25
8m(8R )
h
4 1
8m(NR )
h
1)
2
N
E (
E 25 4,8 10 J 120 10 J 12,0 10 J -20 20 -19
LUMO
ΔE E E 12,0 10 J - 7,68 10 J 19 -19
LUMO HOMO
ΔE = 4,32 x 10-19J
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
Muatan elektron molekul tetraena akan mampu mengalami eksitasi (HOMO ke LUMO) apabila memiliki energi eksitasi minimum (ΔE) sebesar 4,32 x 10-19Joule.
Dalam teori orbital molekul elektron bebas, elektron dalam molekul terkonjugasi
diperlakukan sebagai partikel bergerak bebas dalam kotak satu dimensi dengan panjang L
atau a atau N. Tetraena CH2=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH2 dapat dipandang sebagai
kotak satu dimensi dengan panjang N = 8RC-C, dimana 8RC-C = 1,40 Å (1,4 x 10-10 m).
a. Tentukan persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi terisi paling
tinggi, n = 4?
b. Hitung energi terendah dari setiap kuantum untuk lima bilangan kuantum?
c. Hitung energi eksitasi minimum molekul?
Penyelesaian:
a. Menentukkan persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi terisi
paling tinggi, n = 4
Yang dimaksud dengan elektron-bebas adalah elektron yang tidak mendapat
pengaruh luar sehingga energi potensialnya nol. Dengan V(x) = 0 persamaan Schrodinger
menjadi:
(x)
ΕΨ
(x)
ψ
(x)
) V
(x)
Ψ
x
(
2m 2
2 2
....................................................................(1).
(x)
) 0 ΕΨ
(x)
Ψ
x2
2
(
2m
2
karena
2
h
, maka:
(x)
) 0 ΕΨ
(x)
Ψ
x
(
8 2 2
2 2
m
h
0
(x)
) ΕΨ
(x)
Ψ
x
(
8 2 2
2 2
m
h
0
(x)
ΕΨ
8
)
(x)
Ψ
x
(
2
2 2
2
h
m
Persamaan differensial ordo dua:
0
(x)
) Ψ
(x)
Ψ
x
( 2
2
2
k ............................................................................. (2).
Persamaan di atas dapat ditulis secara lebih sederhana,
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
( )
2
2 ( )
2
x x k
x
atau
2
2
2 8
h
m
k
2
2 8
h
m
k
Bentuk penyelesaian dari persamaan di atas adalah:
ikx ikx
x Ae Be ( ) atau A kx B kx x sin cos ( ) .......................(3).
Dengan memasukkan persyaratan fisis atau nilai syarat batas, yaitu pada x = 0 harga ψ(x)
= 0, maka harga B harus berharga 0.
sin (0) cos (0) ( ) A k B k o atau 0 0 B(1) B = 0, sehingga:
A kx x sin ( )
Dengan memasukkan nilai syarat batas yang ke dua, yaitu pada x = a harga ψ(x) = 0,
maka diperoleh bahwa harga k.a harus merupakan kelipatan dari π, atau
k.a = n π atau
a
nπ
k dimana n = 1, 2, 3 …dst maka
sin( ) ( ) x
a
n
A x
....................................................................................................(4).
Dengan mengembalikan besaran dari konstanta k ke bentuk semula, maka diperoleh
energi partikel dalam kotak 1 dimensi seperti dibawah ini.
2
2 2
8ma
n h
En ............................................................................................................(5).
En adalah energi partikel dalam kotak 1 dimensi yang harganya tergantung pada bilangan
kuantum n.
Fungsi gelombang penyelesaian partikel dalam kotak 1 dimensi adalah
x
a
n
A n x
sin ( ) dimana A adalah tetapan normalisasi
Harga tetapan normalisasi dapat ditentukan dengan menormalisasi fungsi gelombang
tersebut yang sama artinya dengan mengharuskan fungsi gelombang memenuhi kaidah
bahwa di dalam keseluruhan batas kotak, maka peluang menemukan partikel adalah 1.
1 ( )
0
( )
* dx x
a
x (syarat menormalisasi)
1
0
2
( ) dx
a
x
sin 1
0
2
x dx
a
n
A
a
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
sin 1
0
2 2
x dx
a
n
A
a
sin 1 2 2
0
xdx
a
n
A
a
sin 1
0
2 2 x dx
a
n
A
a
x dx
a
n
A
a
0
2
2
sin
1
Penyelesaian xdx
a
nπ
xdx 1 cos2
a
nπ
sin
a
0 0
2
a
x
dv
x
a
n
2
d
a
0
a
0
xdx
a
nπ
cos2
2
1
2
1
dx
x
a
dx
v
n
d
a
0
a
0
x
a
2nπ
dv
cos
2
1
x
2
1
vdv
n x
a
cos
2
1
2
a 1
0 sin 2 sin 0
2 4
1
0
x
a
n
n x
a
a
a
vdv
n x
a
0
cos
4
1
sin 2 0
2 4
x
a
n
n x
a a
v
n x
a a sin
4 0
0
2
a
a
A
2
2
a
1 2
2
a
a
A
2
Dengan menggunakan formula matematika, UdV UV VdU , diperoleh harga
tetapan normalisasi, A = (2/a)1/2, sehingga bentuk fungsi gelombang ternormalisasinnya
adalah seperti di bawah ini.
x
a
n
A n x
sin ( ) x
a
n
a n x
sin
2
( ) atau
x
R
n
R C C C C
n x
8
sin
8
2
( )
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
Secara diagram, fungsi gelombang dan tingkat energi partikel dalam kotak satu dimensi
seperti disajikan pada gambar di bawah ini.
2
2
5 8
25
ma
h
E
Dari penjelasan di atas persamaan gelombang untuk elektron pada tingkat energi
paling tinggi, n = 4 adalah:
2
2 2
2
2 2
8 8 ( ) C C
n m NR
n h
ma
n h
E
2 1
2
2
2 2
4 16
8 (8 )
16
8
4
E
m R
h
ma
h
E
C C
b. Menghitung energi terendah dari setiap kuantum untuk lima bilangan kuantum
(n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, dan n = 5).
Diketahui h = konstanta Planck = 6,6262 x 10-34J.s, m = massa elektron = 9,11 x 10-
31kg, N= 8, RC-C = 1,4 x 10-10m.
Untuk n = 1
2
2
2
2 2
1 8 8 (8 )
1
C C m R
h
ma
h
E
0 a 0 a
2
2
1 8ma
h
E
2
2
2 8
4
ma
h
E
2
2
3 8
9
ma
h
E
x
a a x
sin
2
1( )
x
a a x
2
sin
2
2( )
x
a a x
3
sin
2
3( )
ψ1
2
ψ2
2
ψ3
2
2
2
4 8
16
ma
h
E
x
a a x
4
sin
2
4( )
x
a a x
5
sin
2
5( )
Ψ4
2
Ψ5
2
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
72,88 10 (125,44 10 )
43,9065 10
8 9,11 10 (8 1,4 10 )
(6,6262 x 10 )
31 20
68
31 10 2
-34 2
1
E
0,0048 10 J 4,8 10 J
9142,0672 10
43,9065 x 10
E 17 20
51
-68
1
Untuk n = 2
2 1 E 4E
E 4 4,8 10 J 1,92 10 J 20 -19
2
Untuk n = 3
3 1 E 9E
E 9 4,8 10 J 4,32 10 J 20 -19
3
Untuk n = 4
4 1 E 16E
E 16 4,8 10 76,8 10 J 20 20
4
J
E 7,68 10 J 19
4
Untuk n = 5
3 1 E 25E
E 25 4,8 10 J 12,0 10 J 20 -19
5
E 12,0 10 J 19
5
c. Menghitung energi eksitasi minimum molekul (EHOMO)
2 1
C C
2
2
C C
2 2
2
C C
2 2
HOMO 16E
8m(8R )
h
16
8m(8R )
h
2
8
8m(NR )
(N/2) h
E
E 16 4,8 10 J 7,68 10 J -20 19
HOMO
E 7,68 10 J 19
HOMO
2 1
C C
2
2
C C
2
2
2
C C
2
2
LUMO 25E
8m(8R )
h
25
8m(8R )
h
4 1
8m(NR )
h
1)
2
N
E (
E 25 4,8 10 J 120 10 J 12,0 10 J -20 20 -19
LUMO
ΔE E E 12,0 10 J - 7,68 10 J 19 -19
LUMO HOMO
ΔE = 4,32 x 10-19J
Nama : I Wayan Madiya
Jurusan : Pendidikan Sains
Muatan elektron molekul tetraena akan mampu mengalami eksitasi (HOMO ke LUMO) apabila memiliki energi eksitasi minimum (ΔE) sebesar 4,32 x 10-19Joule.
Komentar